Операции Со Степенями С Разными Основаниями
Даны формулы действий со степенями. При умножении степеней. Имеют разные основания. 1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.: Пример 3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷. 2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований. Пример: 5²*2²=(5*2)²=10²=100 3) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта: 1. Выделяем одинаковое основание, т.е. Раскладываем один из множителей. Представим число b=a*c.
Начнем с самых основ, с определения. Степень – это произведение равных множителей. Множитель называют основанием, а число множителей – показателем степени.
Действие которое производят со степенью возведением в степень. Показатель степени может быть положительным и, целым числом или дробью, действий со степенями остаются при этом прежними. Если основание степени - отрицательное число, а степени нечетный, то результат возведения в степень отрицателен, но если показатель степени четный, результат, в независимости от того, отрицательный или положительный знак перед основанием степени, всегда иметь знак плюс. Все свойства, которые мы сейчас перечислим, действительны для степеней с одинаковым основанием. Если же основания у степеней разные, то сложить или вычесть можно только после возведения в степень. Так же как умножить и разделить. Потому что возведение в степень, согласно установленному порядку выполнения арифметических действий, имеет приоритет над умножением и делением, а также сложением и вычитанием, которые выполняются в последнюю очередь.
А для изменения этой строгой последовательности действий, скобки, в которые заключаются первоочередные действия.
. Свойства степеней с натуральными показателями По степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Свойства степеней с целыми показателями Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте., а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.
Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:. a ma n=a m+n;. a m:a n=a m−n;. (ab) n=a nb n;.
(a:b) n=a n:b n;. (a m) n=a mn;. если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем ab −n;. если m и n – целые числа, причем mn, то при 01 выполняется неравенство a ma n. При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m, и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0, а числа m и n – целые положительные.
Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q=a pq, (a −p) q=a (−p)q, (a p) −q=a p(−q) и (a −p) −q=a (−p)(−q). Для положительных p и q равенство (a p) q=a pq доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a 0) q=1 q=1 и a 0q=a 0=1, откуда (a 0) q=a 0q.
Синицына А.С. -М.: МИИТ, 2010. В учебном пособии рассмотрены роль и место склада в логистических системах, принципы и опыт создания. Учебник логистика склада 2010. В учебном пособии рассмотрены роль и место склада в логистических системах. Государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2010.
Аналогично, если q=0, то (a p) 0=1 и a p0=a 0=1, откуда (a p) 0=a p0. Если же и p=0 и q=0, то (a 0) 0=1 0=1 и a 00=a 0=1, откуда (a 0) 0=a 00. Теперь докажем, что (a −p) q=a (−p)q. По определению степени с целым отрицательным показателем, тогда. По свойству частного в степени имеем. Так как 1 p=111=1 и,. Последнее выражение по определению является степенью вида a −(pq), которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)q.
По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −nb −n, которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b, для которых выполняется условие a0. Произведение a nb n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n. Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n−a n и a nb n.
Следовательно, откуда a −nb −n, что и требовалось доказать. Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями. Свойства степеней с рациональными показателями мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями.
Операции Со Степенями С Разными Основаниями
Свойства степеней с иррациональными показателями Из того, как определяется, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a0, b0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:. a pa q=a p+q;. a p:a q=a p−q;.
(ab) p=a pb p;. (a:b) p=a p:b p;. (a p) q=a pq;. для любых положительных чисел a и b, a0 справедливо неравенство a pb p;.
для иррациональных чисел p и q, pq при 00 – неравенство a pa q. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a0 обладают этими же свойствами. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл.
Действия Со Степенями С Одинаковыми Основаниями
Общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. Общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл.
Общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Алгебра: учебник для 9 кл. Общеобразовательных учреждений. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).